Introdução:
Como construir um argumento para uma hipótese cristã usando o Teorema de Bayes? Podemos dar como exemplos de hipóteses os dois exemplos a seguir: (1) a hipótese de Jesus ter ressurreto dos mortos, dado que Deus exista; e (2) a hipótese de Jesus ter ressurreto dos mortos, dado que ele apareceu aos discípulos apos sua crucificação. A segunda dessas hipóteses é a mesma que formulei no meu processo de credenciamento junto ao Reasonable Faith em 2017. Para isso, é preciso que entendamos primeiramente o que é o Teorema de Bayes, e qual é a sua finalidade. Nesta publicação, que é a primeira parte do texto completo sobre o Teorema de Bayes, meu objetivo é avaliar a primeira dessas hipóteses.
Introdução à probabilidade:
Imagine que você tenha um dado de seis faces na sua mão. Dados comuns tem suas faces numeradas de 1 a 6, de modo que ao jogá-lo ao chão, de modo aleatório, o dado vai interromper seu movimento com alguma dessas faces voltada para cima, e um desses números estará visível com clareza. Dizemos que se trata de um dado honesto quando qualquer uma das faces do dado tem a mesma chance de aparecer voltada para cima como qualquer outra. O que significa ter a mesma chance?
Vamos pensar em termos de conjuntos (matematicamente falando). Intuitivamente, sabemos que o nosso experimento de jogar o dado terá como resultado quaisquer uma das faces numeradas de 1 a 6. A esse conjunto de todos os possíveis resultados do experimento vamos chamar de espaço amostral — indicado pelo símbolo Ω. Num experimento, é impossível que seu resultado esteja de fora desse conjunto, isto é, o espaço amostral representa o escopo do experimento. Matematicamente, vamos indicar que Ω={1;2;3;4;5;6}, ou seja, o espaço amostral é composto pelos números de 1 a 6, que são os possíveis resultados do experimento. Também matematicamente falando, representamos a quantidade de elementos de conjunto pelo símbolo #, de modo que ao escrever #(Ω)=6, estamos dizendo que a quantidade de elementos do espaço amostral Ω é 6.
Sabendo previamente desse conjunto dos resultados possíveis, um apostador decide tentar acertar o resultado previamente. O apostador só pode apostar em resultados que estejam dentro do escopo. Vamos supor que ele aposte que o resultado será um número par. Aqui temos um outro conceito importante: o conjunto dos resultados a serem avaliados — indicado pelo símbolo H, que como o próprio nome sugere, consiste em resultados que, se ocorrerem, representam um sucesso da escolha feita previamente pelo apostador. Caso o resultado obtido não seja pertencente a esse conjunto, dizemos que houve insucesso ou falha. Desse modo, podemos representar a escolha do apostador como sendo H={2;4;6}, e como esse conjunto tem três elementos, também podemos escrever #(H)=3.
Intuitivamente, você já imagina que a probabilidade desse apostador ter sucesso é de 1 em 2. Por quê isso? Eis aí a primeira fórmula da probabilidade, definida como:
p(H)=#(H)#(Ω)
que nada mais é do que a razão entre o número de elementos do conjunto dos resultados desejados e o número de resultados possíveis (o escopo). Lembre-se do que foi visto antes, tem-se #(Ω)=6 e #(H)=3, de modo que quando fazemos a divisão da fórmula acima, obtemos:
p(H)=#(H)#(Ω)=36=12
que é equivalente a dizer que a chance do apostador era de 1 em 2.
Observe o seguinte detalhe, que é muito importante: essa probabilidade foi calculada com base no espaço amostral, definido como escopo do experimento. Se o nosso escopo não fosse o espaço amostral (que é por definição o conjunto de todos os possíveis resultados), mas sim outro conjunto qualquer de resultados, digamos, o conjunto de números primos possíveis, então teríamos outra probabilidade. O que quero dizer com isso? Quero dizer que, se já soubéssemos que o dado desse como resultado apenas números primos, então isto seria o nosso escopo, e o resultado da probabilidade seria diferente.
Chamando de E ao conjunto de resultados primos do dado de seis faces, escreveríamos E={2;3;5}, e também que #(E)=3. Num caso como esse, em que a probabilidade não tem o espaço amostral como escopo, mas sim outro conjunto qualquer, então chamamos esse tipo de probabilidade de probabilidade condicional, dado que o experimento ocorre sob condições diferentes do padrão do espaço amostral. A fórmula da probabilidade condicional segue a mesma intuição da fórmula anterior, substituindo-se o espaço amostral Ω por E. Veja que a notação da probabilidade indica a condição sob a qual ela foi feita:
p(H|E)=#(H)#(E)
Quando a probabilidade ocorrer com escopo no espaço amostral, basta escrever p(H); mas quando ela for condicional, é preciso escrever p(H|E). Mas a fórmula segue a mesma intuição de probabilidade.
No nosso novo exemplo, o dado só daria resultados primos, e o apostador continuou insistindo em números pares. O escopo deste exemplo é diferente, então é preciso recontar os resultados desejados dentro da condição estabelecida. Entre os números primos possíveis E={2;3;5}, o resultado par desejável se resume ao conjunto H={2}, de modo que #(H)=1. Então, a probabilidade desse apostador ter sucesso seria de:
p(H|E)=#(H)#(E)=13
o que significa dizer que ele tem chance de 1 em 3 de acertar. Perceba a diferença para a probabilidade anterior. Antes a chance era de 1 em 2, agora é de 1 em 3 — ficou mais difícil para o apostador acertar o número na comparação com o escopo de antes (embora o novo escopo seja menor).
Em resumo, a mudança de escopo do problema de probabilidade num espaço amostral para um problema com condições diferentes faz dele um problema de probabilidade condicional, e isto poderá tanto aumentar a probabilidade como diminuí-la também, como no caso do último exemplo.
O que é o teorema de Bayes?
O teorema de Bayes, escrito na sua forma simplificada, tem a seguinte forma:
p(H|E)=p(H)×p(E|H)p(E)
Vale uma explicação mais detalhada de cada um dos termos dessa fórmula, relembrando os conceitos já vistos até agora.
- p(H|E): esta é a probabilidade de ocorrência do evento H, condicionado a sabermos que E já aconteceu. No exemplo, seria o equivalente de calcular a probabilidade da ocorrência de um número par, já sabido que o resultado fosse um número primo (calculada anteriormente como 1 em 3).
- p(H): probabilidade de ocorrência do evento H, dentre todas as possibilidades do espaço amostral. No exemplo do texto, o evento H representava a ocorrência de um número par, no escopo padrão do espaço amostral (calculada anteriormente como 1 em 2).
- p(E|H): esta é a probabilidade de ocorrência do evento E, condicionado a sabermos que H já aconteceu. No exemplo, seria o equivalente de calcular a probabilidade da ocorrência de um número primo, já sabido que o resultado fosse um número par.
- p(E): probabilidade de ocorrência do evento E, dentre todas as possibilidades do espaço amostral. No exemplo do texto, o evento E representava a ocorrência de um número primo, no escopo padrão do espaço amostral.
Note a diferença entre p(H|E) e p(E|H). O primeiro, p(H|E), representa uma probabilidade de ocorrer número par dado que já se sabe que o resultado fosse um número primo; o segundo, p(E|H), representa a probabilidade de ocorrer número primo dado que já se sabe que o resultado seja um número par. São eventos completamente diferentes. No entanto, é disso o que se trata o teorema de Bayes: de relacionar probabilidades condicionais. Em probabilidade, é possível que uma dessas probabilidades condicionais seja muito difícil de avaliar pelos seus méritos próprios, de modo que o Teorema de Bayes simplificado facilite a avaliação através de outras probabilidades relacionadas aos eventos em questão.
Contudo, a fórmula acima — em especial o seu denominador — poderá ser reescrita numa forma mais completa, assim como descrita no livro Apologética Contemporânea do Dr. William Lane Craig:
p(H|E)=p(H)×p(E|H)p(H)×p(E|H)+p(H¯)×p(E|H¯)
Note que o denominador desta fórmula é diferente. Contudo, são fórmulas equivalentes. É que esta fórmula traz mais detalhes para a avaliação da probabilidade. E que detalhes são esses? São detalhes referentes à possibilidade da não-ocorrência do evento condicionado — representadas matematicamente através dos termos p(H¯) e p(E|H¯) (atente para a barra acima da letra H, que simboliza a não-ocorrência do evento H). Isto tem implicações diretas para a avaliação de probabilidades de eventos históricos, condicionadas por certas hipóteses que tornam o evento em questão mais ou menos provável. É precisamente disto que trata o questionamento feito no Guia de Estudo, mencionado logo no início deste artigo.
Agora, dada essa longa explicação introdutória sobre probabilidade e o teorema de Bayes, vamos usá-los para avaliar hipóteses de interesse direto para a apologética cristã, a saber: (1) a hipótese de Jesus ter ressurreto dos mortos, dado que Deus exista; e (2) a hipótese de Jesus ter ressurreto dos mortos, dado que ele apareceu aos discípulos após sua crucificação.
Usando o teorema de Bayes:
Vamos usar o teorema de Bayes simplificado para avaliar a primeira das hipóteses listada acima, a saber, de que Jesus tenha ressurreto dos mortos, na condição de que Deus exista.
Se entendermos o símbolo H como sendo o evento “Jesus ressuscitou” e o símbolo E como sendo a condicional “Deus existe”, então a probabilidade p(H|E) pode ser entendida como sendo a probabilidade de Jesus ressuscitar dada a condição de Deus existir, que é precisamente a hipótese que desejamos avaliar. Revendo o teorema de Bayes simplificado, teremos então:
p(H|E)=p(H)×p(E|H)p(E)
As probabilidades p(E) e p(H) têm como escopo o espaço amostral, ou seja, devem ser avaliadas em seus próprios méritos, sem relação com quaisquer condições prévias. Sendo assim, entende-se que:
p(H) está no numerador da fórmula, e é a probabilidade de Jesus ter ressurreto, avaliada em seus próprios méritos. Numa avaliação de relance, parece ser uma probabilidade muito baixa, próxima do zero, considerando-se que não se tem relatos de pessoas terem sido ressurretas, além de contrariar a experiência universal de que uma vez morto, o corpo não volta à vida naturalmente.
p(E) está no denominador da fórmula, e é a probabilidade de Deus existir, avaliada em seus próprios méritos. Esta probabilidade dependerá muito da cosmovisão do avaliador, dada a natureza metafísica dessa probabilidade, e também da avaliação dos argumentos em favor da existência de Deus provenientes da Teologia Natural.
p(E|H) está no numerador da fórmula é a probabilidade de Deus existir, dada a condicional de Jesus ter ressurreto. Observe a importância dessa probabilidade: deve-se assumir como verdadeira a ressurreição de Jesus para daí então se avaliar a probabilidade de Deus existir. Talvez este seja o ponto mais desafiador para os avaliadores que pressupõem o ateísmo. Dito isso, é bastante plausível dizer que se víssemos alguém ressurgir dos mortos, então também perceberíamos a probabilidade de Deus existir como sendo muito alta.
Feitas essas considerações, agora passamos a avaliar o cálculo sugerido pelo Teorema de Bayes simplificado, de acordo com os valores que atribuímos às probabilidades mencionadas acima, e levando-se em consideração a cosmovisão do avaliador em p(E). Vamos avaliar o pior caso, que é a posição do ateu, que atribuiria um valor muito baixo para a probabilidade p(E) — a probabilidade de Deus existir. Este fator está no denominador da fórmula. Contudo, nós já assumimos que o fator p(H) no numerador da fórmula é também muito baixo, de modo que a probabilidade resultante da divisão apenas desses dois fatores ficasse próxima de 1 (um fator “anulou” o outro), restando ao ateu apenas a multiplicação pelo fator restante, p(E|H), que está no numerador da fórmula. Uma vez que já contabilizamos este fator como sendo de altíssima probabilidade, então a probabilidade resultante p(E|H) — a de Jesus ressuscitar, condicionada à existência de Deus — também acaba sendo alta.
A conclusão é que, mesmo para o ateu, a probabilidade de Jesus ressuscitar, considerando-se o contexto de sua vida e a existência de Deus, seria muito alta. Resta então ao ateu considerar as evidências para a existência de Deus a partir dos argumentos da Teologia Natural.
Na segunda parte deste texto, a ser publicada em breve, farei a avaliação da segunda hipótese mencionada acima, a saber, a de Jesus ser ressurreto dos mortos, dado que ele apareceu aos discípulos após sua crucificação segundo o teorema de Bayes completo.
Segunda parte:
Como mencionado no texto anterior sobre o teorema de Bayes, faço agora a avaliação da segunda hipótese exemplificada, a saber, a de Jesus ser ressurreto dos mortos, dado que ele apareceu aos discípulos após sua crucificação segundo o teorema de Bayes completo.
Vamos rever a fórmula do teorema de Bayes mais completa, assim como descrita no livro Apologética Contemporânea do Dr. William Lane Craig:
p(H|E)=p(H)×p(E|H)p(H)×p(E|H)+p(H¯)×p(E|H¯)
Assim como no exemplo anterior, precisamos entender o que cada um dos termos da fórmula acima representa. Entendendo o símbolo H como sendo a hipótese de Jesus ressuscitar, e E como sendo o evento de Jesus aparecer aos discípulos após sua crucificação, então a probabilidade a ser calculada, p(H|E), representa a probabilidade de Jesus ter ressuscitado dado que ele tenha aparecido aos discípulos após sua crucificação. Observe que a probabilidade da ressurreição não é avaliada por si mesma no resultado da fórmula, como se fosse independente de outros fatores quaisquer (como por exemplo, a fé do avaliador, afirmada fideisticamente). Não se pode dizer que a cosmovisão (teísta ou ateísta) do avaliador esteja sendo um fator subjetivo que interfira nessa probabilidade calculada. O único fator que afeta essa probabilidade é a hipótese histórica — muito bem fundamentada, diga-se de passagem — do aparecimento de Jesus aos discípulos após sua crucificação.
Passemos então a analisar os componentes dessa fórmula. Alguns deles podem sim depender da cosmovisão do avaliador. Vamos começar pela multiplicação p(H)×p(E|H), que aparece tanto no numerador como no denominador. O termo p(H) é a probabilidade de Jesus ressuscitar, avaliada em seus méritos próprios — isto é, ela dependeria da cosmovisão do avaliador, se teísta ou ateísta. Já o termo p(E|H) representa a probabilidade (ou o poder explanatório) de Jesus ter aparecido aos discípulos assumindo-se que ele tenha ressuscitado dos mortos. Esta é, sem grandes margens de dúvida, uma probabilidade alta, dado que isto seria uma prova substancial de que Jesus fosse mesmo o Filho de Deus, assim como ele se afirmou ser durante os três anos da sua vida ministerial pública. É mais provável que Jesus quisesse aparecer aos discípulos após sua morte — e portanto, demonstrando em definitivo ser o Filho de Deus —, do que pensar o contrário disso, que ele não quisesse aparecer aos discípulos.
Há outra multiplicação a ser contabilizada, p(H¯)×p(E|H¯), que aparece no denominador se somando ao componente que acabamos de contabilizar no parágrafo anterior. Do mesmo modo que o termo p(H), o termo p(H¯) também dependerá da cosmovisão do avaliador. Relembrando: se o símbolo H representa a hipótese de Jesus ressuscitar, então o símbolo H¯ representa a hipótese de Jesus não ressuscitar. O termo p(H¯) é a probabilidade de Jesus não ressuscitar, que por sua vez é complementar à p(H) — isto é, são hipóteses cujas probabilidades somadas precisam dar 100% —, significando que, se uma delas for baixa, a outra é necessariamente alta. Na prática, isso significa que se um teísta atribuir alta probabilidade a p(H), então ele atribuirá necessariamente uma baixa probabilidade a p(H¯). Para o ateu, basta trocar as atribuições: se ele atribui baixa probabilidade a p(H), então será alta a probabilidade em p(H¯).
E quanto ao termo p(E|H¯)? Ele representa a probabilidade, ou o poder explanatório, de Jesus ter aparecido aos discípulos dado que ele não ressuscitou. Esta probabilidade é, em geral, considerada alta por ateus, em função do seu viés naturalista. Dentro da cosmovisão naturalista, a explicação de Jesus ter aparecido aos discípulos não seria por ele ter ressurgido dos mortos, mas sim por algum tipo de explicação naturalista, como por exemplo uma suposta alucinação dos apóstolos. Entre esses tipos de explicação, qualquer uma que explique a aparição de Jesus aos apóstolos sem fazer uso da possibilidade da ressurreição, consideraria este termo com maior valor de probabilidade. Contudo, até o momento, não existem explicações naturalistas do tipo para aumentar o valor dessa probabilidade. O viés naturalista é bastante visível na avaliação desse termo.
Feitas todas essas considerações dos valores de probabilidade dos termos da fórmula, vamos avaliar o cômputo final. Vamos rever a fórmula de Bayes completa, para recapitular:
p(H|E)=p(H)×p(E|H)p(H)×p(E|H)+p(H¯)×p(E|H¯)
Tomando-se o último termo considerado, p(E|H¯), podemos assumi-lo como extremamente baixo, próximo do zero, dada a completa ausência de explicações puramente naturalistas para o aparecimento de Jesus aos apóstolos após sua crucificação. Sendo assim, p(E|H¯)≈0. Agora, reavaliando a multiplicação em que este termo aparece no denominador, concluímos também que p(H¯)×p(E|H¯)≈0, e por causa disso, o denominador da fórmula fica com um valor superior mas muitíssimo próximo de p(H)×p(E|H), que é exatamente o do numerador da fórmula. Isso torna o valor calculado pela fórmula muito próximo de 1, significando que a probabilidade p(H|E) é alta — isto é, que é muito mais provável que Jesus tenha sido de fato ressurreto dado que ele tenha aparecido aos apóstolos após ter sido crucificado.
Um ponto importante em todo esse raciocínio é que, diferentemente do exemplo do texto anterior, procurei não levar muito em consideração fatores probabilísticos que dependessem exclusivamente da cosmovisão do avaliador. Ainda que considerássemos p(H) e p(H¯) com igual probabilidade, chegaríamos à mesma conclusão, numericamente falando. O termo p(E|H¯), embora dependa da cosmovisão do avaliador, não depende exclusivamente dela: depende mais da qualidade explicativa das hipóteses naturalistas. E como já dito antes, explicações dessa natureza não foram capazes de explicar adequadamente todos os fatos amplamente aceitos sobre os últimos dias de Jesus, mencionados em dois textos já publicados neste portal, parte 1 e parte 2.
Chego ao fim deste texto, cujo propósito era o de procurar facilitar a compreensão do teorema de Bayes para o questionário do Guia de Estudo para credenciamento de novos núcleos de apologética Reasonable Faith. Quaisquer questionamentos adicionais sobre o tema, bem como eventuais dúvidas sobre outras questões do Guia de Estudo, poderão ser enviadas para o e-mail saulo.reis@reasonablefaith.org.
Fontes:
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